그래프 알고리즘 2 - 코딩 테스트에서 자주 등장하는 기타 그래프 이론

신장 트리

    : 신장 트리(Spanning Tree)란 하나의 그래프가 있을 때, 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다. 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건이기도 하기 때문에, 이러한 그래프를 신장 트리라고 부르는 것이다. 예를 들어보자.

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크루스칼 알고리즘

    다양한 문제 상황에서 가능한 한 최소한의 비용으로 신장 트리를 찾아야 하는데, 이처럼 신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘을 '신장 트리 알고리즘'이라고 한다. 대표적인 신장 트리 알고리즘으로는 '크루스칼 알고리즘(Kruskal Algorithm)'이 있다. 크루스칼 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다. 모든 간선에 대하여 정렬을 수행한 뒤에 가장 거리가 짧은 간선부터 집합에 포함시키면 된다. 단, 사이클을 발생시킬 수 있는 간선의 경우, 집합에 포함시키지 않는다. 과정은 아래와 같다.

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
    2-1. 사이클이 발생하지 않는 경우, 최소 신장 트리에 포함시킨다.
    2-2. 사이클이 발생하는 경우, 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
3. 모든 간선에 대하여 2번 과정을 반복한다.

크루스칼 알고리즘의 핵심 원리는 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가하면 된다는 것인데, 사이클을 발생시키는 간선은 제외하고 연결하면 된다. 이렇게 하면, 항상 최적의 해를 보장한다. 구체적인 원리는 아래와 같다.

위의 예시에소 최소 신장 트리를 만드는데 필요한 비용은 총 159이다. 최소 신장 트리를 만드는데 필요한 비용을 계산하는 크루스칼 알고리즘 코드는 아래와 같다.

import sys
input = sys.stdin.readline

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent,x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent,parent[x])
    return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent,a,b):
    a = find_parent(parent,a)
    b = find_parent(parent,b)
    if a < b :
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int,input().split())
parent = [0] * (v+1)  # 부모 테이블 초기화 

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1,v+1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a,b, cost = map(int,input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost,a,b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않은 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent,a) != find_parent(parent,b):
        union_parent(parent,a,b)
        result += cost

print(result)

크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간복잡도를 가진다. 간선을 정렬하는 작업이 가장 오래 걸리는 부분인데, E개의 데이터를 정렬했을 때의 시간복잡도가 O(ElogE)이기 때문이다. 크루스칼 내부에서 사용되는 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도는 정렬하는 시간 복잡도보다 작으므로 무시한다.

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위상 정렬

    : 위상 정렬(Topology Sort)은 정렬 알고리즘의 일종이다. 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행하려고 할 때, 사용가능한 알고리즘이다. 즉, 방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스리지 않도록 순서대로 나열하는 것'이다. 현실 세계에서는 위상 정렬을 수행하게 되는 전형적인 예시로 '선수과목을 고려한 학습 순서 설정'등이 있다. 일반적으로, 컴공과 커리큘럼에서 '알고리즘' 과목의 선수과목을 '자료구조'로 해두는데, 그래프상에서 각 과목을 노드로 설정하고, 방향성을 갖는 간선을 그릴 수가 있다. 즉, 그래프에서 선후 관계가 있다면, 위상 정렬을 수행하여 모든 선후 관계를 지키는 전체 순서를 계산할 수 있다. 

    위상 정렬 알고리즘을 자세히 살펴보기 전에, 먼저 진입차수(Indegree)에 대해 알아야 한다. 진입차수란 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수를 의미한다. 위상 정렬 알고리즘 과정은 아래와 같다.

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
    2-1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
    2-2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

이 때, 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 비어버린다면, 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다. 다시 말해, 큐에서 원소가 V번 추출되기 전에 큐가 비어버리면 사이클이 발생한 것이다. 다만, 기본적으로 위상 정렬 문제에서는 사이클이 발생하지 않는다고 명시하는 경우가 더 많으므로, 그러한 경우는 고려하지 않고 설명해보겠다. 구체적인 원리는 아래와 같다.

위 과정을 수행하는 동안 큐에서 빠져나간 노드를 순서대로 출력하면, 그것이 바로 위상 정렬을 수행한 결과가 된다. 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있을 때가 있기 때문에, 위상 정렬의 답안은 여러 가지가 될 수 있다는 점이 특징이다. 위 예에서는 1-2-5-3-6-4-7 과 1-5-2-3-6-4-7 이 답이다. 위상 정렬 코드는 아래와 같다.

from collections import deque
import sys
input = sys.stdin.readline

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v,e = map(int,input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v+1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v+1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a,b = map(int,input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입차수 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 하뭇
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 하는 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1,v+1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)
    
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q : 
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)
    
    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result :
        print(i,end=" ")

topology_sort()

위상 정렬의 시간 복잡도는 O(V+E) 이다. 위상 정렬을 수행할 때는 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야 한다. 노드와 간선 모두를 확인해야 하므로 O(V+E) 만큼의 시간이 소요되는 것이다.